Implicación material

En lógica proposicional, la implicación material^[1]​^[2]​ o definición del condicional^[3]​ es una regla de reemplazo válida que permite que una declaración condicional sea sustituida por una disyunción si y solo si el antecedente es negado. La regla establece que P implica Q es lógicamente equivalente a no-P o Q y puede sustituir a otra en demostraciones lógicas.

${\displaystyle P\to Q\Leftrightarrow \neg P\lor Q}$

Donde "${\displaystyle \leftrightarrow }$" es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una demostración con."

Notación formal

La regla de implicación material puede escribirse en la notación subsiguiente:

${\displaystyle (P\to Q)\vdash (\neg P\lor Q)}$

donde ${\displaystyle \vdash }$ es un símbolo metalógico que significa que ${\displaystyle \neg P\lor Q}$ es una consecuencia sintáctica de ${\displaystyle (P\to Q)}$ en algún sistema lógico;

y expresado como una tautología verdad-funcional o teorema de la lógica proposicional:

${\displaystyle ((P\lor Q)\land \neg P)\to Q}$

donde la regla es que cada vez que en las líneas de una demostración aparezcan las instancias de "${\displaystyle P\to Q}$", éstas pueden ser reemplazadas con "${\displaystyle \neg P\lor Q}$".

y expresado como una tautología o teorema de la lógica proposicional.

${\displaystyle (P\to Q)\to (\neg P\lor Q)}$

donde ${\displaystyle P}$ y ${\displaystyle Q}$ son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

Ejemplo

Si se trata de un oso, entonces puede nadar.

Por lo tanto, no es un oso o puede nadar.

donde ${\displaystyle P}$ es la declaración "es un oso" y ${\displaystyle Q}$ es la declaración "este puede nadar".

Si se encontró que el oso no sabía nadar, escrito simbólicamente como ${\displaystyle P\land \neg Q}$, entonces ambas frases son falsas, pero de lo contrario son ambas verdaderas.

Referencias

Enlaces externos